Définition : On dit que X suit la loi de Poisson $$\mathcal{P}(\lambda) $$ si $$ X(\Omega)=\mathbb{N}$$ et $$\forall k  \in X(\Omega),\; P(X=k)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $$

Valeurs caractéristiques :  $$Si \; X \rightarrow \mathcal{P}(\lambda) $$ alors $$E(X)=\lambda\;et\;Var(X)=\lambda $$

Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson :

La loi de Poisson est un cas particuliers de la loi binomiale : c'est la loi vers laquelle tend celle-ci lorsque le nombre d'épreuves devient grand, alors que la probabilité p de réalisation de l'évènement est faible.

Dans la pratique, on considère que l'approximation de la binomiale par la loi de Poisson est acceptable dès que : $$p \le 0.10$$, $$ n\ge 30 $$, $$np<15 $$.

Soit X\rightarrow \mathcal{B}(n,p). Si $$n\rightarrow +\infty $$, $$p\rightarrow 0$$ alors X\rightarrow \mathcal{P}(\lambda=np)