1.1 Définitions  

Définition1: Soit (Ω,Z,P) un espace probabilisé. On appelle variable aléatoire réelle (v.a.r) , une application X : Ω → R telle que pour tout intervalle I de R, $$f^{-1}(I)$$ est un évènement de Z.

On note $$X(\Omega)$$, l'ensemble des valeurs prises par X.

Définition2: On dit que la v.a X est discrète si  $$X(\Omega)$$ est fini ou infini dénombrable

Définition3:  On dit que la v.a X est continu si X prend ses valeurs dans un intervalle de R.

1.2 Loi de probabilité d'une v.a discrète 

Soit X une v.a discrète. La loi de probabilité X est définie par la donnée de $$X(\Omega)$$ et $$P(X=x)\;\;,\forall x \in X(\Omega)$$

Remarque :  Soit X une v.a discrète de loi de probabilité p. Alors on a $$ \sum_{x \in X(\Omega)}  p(x)=1$$

1.3 Espérance et variance

1.3.1 Espérance

L'espérance sert à mesurer la tendance centrale d'une variable aléatoire.

Définition :  Soit X une v.a discrète de loi de probabilité p. On appelle espérance de X, notée E(X), le nombre réel, s'il existe défini par : $$E(X)=\sum_{x \in X(\Omega)} x  p(x)$$

Remarque : Il peut arriver que la série définie ci-dessus soit divergente. Dans ce cas on dit que X n'a pas d'spérance.

Propriété : Soit X une v.a discrète, a et b deux réels. Alors on a : $$ E(aX+b)=aE(X)+b $$

1.3.2 Variance

Définition

La variance de X notée Var(X) est donnée par $$Var(X)=E(X^2)-E^2(X) $$ où $$ E(X^2)=\sum_{x \in X(\Omega)} x^2  p(x)$$

Propriétés :  Soient X et Y deux v.a discrètes indépendantes et a un réel. Alors on a les propriétés suivantes :

1. $$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$$
2. $$Var(aX)=a^2 Var(X)$$