Variables aléatoires-lois de probabilités

1.1 Définitions  

Définition1: Soit (Ω,Z,P) un espace probabilisé. On appelle variable aléatoire réelle (v.a.r) , une application X : Ω → R telle que pour tout intervalle I de R, $$f^{-1}(I)$$ est un évènement de Z.

On note $$X(\Omega)$$, l'ensemble des valeurs prises par X.

Définition2: On dit que la v.a X est discrète si  $$X(\Omega)$$ est fini ou infini dénombrable

Définition3:  On dit que la v.a X est continu si X prend ses valeurs dans un intervalle de R.

1.2 Loi de probabilité d'une v.a discrète 

Soit X une v.a discrète. La loi de probabilité X est définie par la donnée de $$X(\Omega)$$ et $$P(X=x)\;\;,\forall x \in X(\Omega)$$

Remarque :  Soit X une v.a discrète de loi de probabilité p. Alors on a $$ \sum_{x \in X(\Omega)}  p(x)=1$$

1.3 Espérance et variance

1.3.1 Espérance

L'espérance sert à mesurer la tendance centrale d'une variable aléatoire.

Définition :  Soit X une v.a discrète de loi de probabilité p. On appelle espérance de X, notée E(X), le nombre réel, s'il existe défini par : $$E(X)=\sum_{x \in X(\Omega)} x  p(x)$$

Remarque : Il peut arriver que la série définie ci-dessus soit divergente. Dans ce cas on dit que X n'a pas d'spérance.

Propriété : Soit X une v.a discrète, a et b deux réels. Alors on a : $$ E(aX+b)=aE(X)+b $$

1.3.2 Variance

Définition

La variance de X notée Var(X) est donnée par $$Var(X)=E(X^2)-E^2(X) $$ où $$ E(X^2)=\sum_{x \in X(\Omega)} x^2  p(x)$$

Propriétés :  Soient X et Y deux v.a discrètes indépendantes et a un réel. Alors on a les propriétés suivantes :

1. $$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$$
2. $$Var(aX)=a^2 Var(X)$$
   

Définition: On dit que X suit la loi de Bernouilli de paramètre p>0 (on note $$X \rightarrow \mathcal{B}(p)$$) si $$X(\Omega)=\lbrace 0,1\rbrace$$ et P(X=0)=1-p,  P(X=1)=p.

Valeurs  caractéristiques  $$Si\; X \rightarrow \mathcal{B}(p)$$ alors$$ E(X)=p$$ et $$var(X)=p(1-p)$$

Définition : On dit que X suit la loi binomiale $$\mathcal{B}(n,p) $$ si $$ X(\Omega)=\lbrace 0,1,...,n \rbrace $$ et $$\forall k  \in X(\Omega),\; P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $$

Valeurs caractéristiques :  $$Si \; X \rightarrow \mathcal{B}(n,p) $$ alors $$E(X)=np\;et\;Var(X)=np(1-p) $$

Définition : On dit que X suit la loi géométrique $$\mathcal{G}(p) $$ si $$ X(\Omega)=\mathbb{N}^{\ast} $$ et $$\forall k  \in X(\Omega),\; P(X=k)= p (1-p)^{k-1} $$

Valeurs caractéristiques :  $$Si \; X \rightarrow \mathcal{G}(p) $$ alors $$E(X)=\frac{1}{p}\;et\;Var(X)=\frac{1-p}{p^2} $$

Définition : On dit que X suit la loi de Poisson $$\mathcal{P}(\lambda) $$ si $$ X(\Omega)=\mathbb{N}$$ et $$\forall k  \in X(\Omega),\; P(X=k)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $$

Valeurs caractéristiques :  $$Si \; X \rightarrow \mathcal{P}(\lambda) $$ alors $$E(X)=\lambda\;et\;Var(X)=\lambda $$

Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson :

La loi de Poisson est un cas particuliers de la loi binomiale : c'est la loi vers laquelle tend celle-ci lorsque le nombre d'épreuves devient grand, alors que la probabilité p de réalisation de l'évènement est faible.

Dans la pratique, on considère que l'approximation de la binomiale par la loi de Poisson est acceptable dès que : $$p \le 0.10$$, $$ n\ge 30 $$, $$np<15 $$.

Soit X\rightarrow \mathcal{B}(n,p). Si $$n\rightarrow +\infty $$, $$p\rightarrow 0$$ alors X\rightarrow \mathcal{P}(\lambda=np)