cours d'analyse 1

Cours d'algébre linéaire 1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Endomorphisme

Une matrice nilpotente est une matrice dont il existe une puissance égale à la matrice nulle. Elle correspond à la notion d'endomorphisme nilpotent sur un ...

Un endomorphisme ϕ ∈ L(E) est dit triangularisable si et seulement si il existe une base dans laquelle M(ϕ) est triangulaire.

Un polynˆome P(X) ∈ K[X] est dit totalement r´eductible si et seule- ment si il a tout ces z´eros dans K ie il peut se mettre sous la forme d’un produit de polynˆomes de premier degr´e.

 Soit E un sous-espace vectoriel de K[X], on appelle polynˆome minimal de ϕ, l’unique polynˆome normalis´e de degr´e minimal engendrant kerχ, not´e Qϕ(X) Le polynˆome minimal est le seul polynˆome normalis´e de degr´e minimal v´erifiant
χ[Qϕ(X)] ≡ 0 ie Qϕ(ϕ) = 0

Soit E un K−espace vectoriel de dimen- sion finie non nulle n, et ϕ un endomorphisme de E qui admet un polynôme caractéristique de la forme :
. L’endomorphisme ϕ_i induit par ϕ sur N_i admet (X − λ_i)r_i pour polynôme caractéristique et (X − λ_i)q_i pour polynôme minimal. L’endomorphisme ψ_i = ϕ_i − λ_iIdN_i est nilpotent d’indice q_i

On appelle matrice carrée de types (n,n) à éléments dans K, toute application I*J dans K.

Une application f de E₁*E₂*...*En dans F est n-linéaire si et seulement si pour tout entier i entre 1 et n, et pour tout vecteur x_k  de E_k, chaque application partielle définie de E_i dans F est linéaire.