Généralités
Topologie générale
Licence 3 Mathématiques 2019-2020
La topologie est une branche des mathématiques où l'on approfondit la notion de distance, de continuité, de limite, bien que cet aspect géométrique ne soit pas évident au premier abord pour l'étudiant novice. La topologie permet aussi de faire de l'analyse dans des espaces plus abstraits que R comme des espaces fonctionnels. Il est remarquable de noter qu'aucune connaissance préalable n'est nécessaire à l'apprentissage de ce pan des mathématiques modernes, hormis la théorie des ensembles.
Objectifs généraux :
-
Ce cours présente les bases de la topologie générale et de l’analyse de Hilbert.
A la fin du cours, les étudiants seront en mesure de : Définir le concept de topologie, de métrique, d’ensembles compacts, connexes et d’espace vectoriel normé.De connaître les espaces de Hilbert, les séries de Fourier et les fonctions de la variable complexe.
Objectifs spécifiques :
-
A l’issue de cet enseignement, l’étudiant sera capable :
De donner quelques exemples de topologies, d’espaces métriques complets et compacts, ainsi que des exemples espaces connexes et d'espaces vectoriels normés.
De comprendre les espaces de Hilbert, les séries de Fourier, les insuffisances du noyau de Dirichlet, le noyau de Fejér et le théorème de Cauchy Riemann.
Enseignement :
Prérequis :
- Analyse réel:
- Topologie de l’ensemble R
- Fonctions continues
- Théorie des ensembles:-Opérations sur les ensembles : union, intersection, passage au complémentaire, loi de Morgan. Relations d'ordre : ensembles ordonnés, relation d'équivalence. Lemme de Zorn et axiome.
Mots Clés : Topologie générale, espaces métriques complets, complets, espaces vectoriels normés, distances, normes.
-
Consignes à l'apprenant (Etudiant) :
- Lire attentivement le cours
- Visiter et exploiter les sites donnés dans la webographie
- Participer au Forum
- Faire les tests de connaissance de chaque chapitre
- Faire les travaux dirigés de chaque chapitre
A. Définir les termes suivants: -Une distance, Un espace métrique, une norme,espace topologique.
-Donner quelques exemples de topologies. Donner les caractéristiques de la topologie grossière, de la topologie discrète.
B. Soit A un sous ensemble de $\mathbb R^n$ et $x$ un élément de $\mathbb R^n$. Définir la distance de $x$ à A noté $d(x,A).$
Calcul $d(x, \mathbb R-Q), d(\sqrt2, Q).
C. On définit diamètre d'un ensemble A par: $diam(A)= \sup_{a,b\in}norm(a-b).$ Quel est le $diam( ]0,1[\cap Q), diam(]0,1[\cap R-Q).$
Chaque apprenant (Etudiant) est invité à poster ses questions dans ce forum et à répondre aux questions des autres.
L'enseignant assure la modération des échanges.