On commencera par l’atome d’hydrogène, le plus simple des éléments chimiques, et on étudiera, à partir de cette étude,  la formation de la molécule de dihydrogène H₂.
L’équation de SCHRÖDINGER a donné, on l'a vu,  comme solution décrivant le comportement de l'électron unique de l'atome d'hydrogène, dans son état fondamental, la fonction d'onde Ψ_1s.
La forme mathématique de cette fonction d'onde est, rappelons-le, la suivante:

Ici, dans le cas de l'hydrogène, Z vaut 1 et a₀ désigne le rayon de la première orbite de BOHR, à savoir 0,53 angström.
On remarquera une indépendance vis-à-vis de θ et de Φ.
On remarquera à nouveau que le signe de Ψ est donné par celui de la partie radiale R(r). Le signe est évidemment positif puisque l'exponentielle est toujours positive.

A partir de là on va construire la molécule de dihydrogène H₂ en utilisant une combinaison linéaire (opération purement mathématique) des orbitales Ψ_1s de l'atome d'hydrogène « numéro 1 » et de l'atome d'hydrogène « numéro 2 » de la future molécule.
La combinaison linéaire des orbitales atomiques conduira à une "orbitale moléculaire".

Cette théorie est appelée de façon abrégée en français « C.L.O.A » ; c'est - à - dire « combinaison linéaire des orbitales atomiques » et, en anglais « L.C.A.O. », c'est - à - dire « linear combination of atomic orbitals ».
            Il y aura, en fait,  deux façons de combiner ces orbitales atomiques: une façon "constructive", qu’on appellera « liante », et une façon « destructrice », qu'on appellera « antiliante »:

-      Façon « liante » de combiner les orbitales atomiques Ψ_1s de deux atomes d'hydrogène:

Ψ⁺ moléculaire liante = AΨ_1s (atome 1) + BΨ_1s (atome 2) notée σ.

 Avec A et B qui sont deux constantes de normalisation de la fonction Ψ moléculaire liante, de façon à ce que Ψ² moléculaire liante soit, lorsqu'on intègre sur tout l'espace, égale à l'unité, c'est - à - dire avoir 100% de chances de trouver les électrons de liaison dans tout l'espace. A et B sont positifs. On additionne dans la façon liante les deux fonctions d'onde Ψ_1s qui sont positives toutes les deux.

-      Façon « antiliante » de combiner les orbitales atomiques Ψ_1s de deux atomes d'hydrogène:

Ψ^- moléculaire antiliante = AΨ_1s (atome 1) - BΨ_1s (atome 2) notée σ*.

A et B sont les mêmes constantes de normalisation que précédemment, lors de la combinaison linéaire "liante", mais on remarquera le signe moins entre les deux termes. La fonction d’onde Ψ_1s étant positive on constate ici qu'on enlève une partie négative, en l'occurrence  B. Ψ_1s (atome 2) à une partie positive, en l'occurrence A. Ψ_1s (atome 1).

Le développement de ces intégrales fait apparaître pour l’OM liante une zone de recouvrement entre les 2 noyaux ; qui correspond à la création d’une liaison chimique entre les 2 protons. L’OM antiliante montre aussi une probabilité de présence nulle des 2 électrons à égale distance de ces 2 noyaux.

L'idée de base pour une nouvelle représentation consiste à conserver la notion de particule, mais en abandonnant l'idée classique de la localisation de la particule sur une trajectoire. A une particule quantique, on associe une fonction appelée fonction d'onde, qui caractérise l'état de la particule. Les variables d'espace et de temps peuvent être séparées ainsi:

• ·Ψ (r,t) est une fonction mathématique réelle ou complexe qui n'a pas de signification physique propre.
• ·Ψ (r,t) ne permet pas de déterminer la trajectoire de la particule puisque cette notion n'a plus de sens.
• · En revanche, le carré du module  Ψ² ou le produit (Ψ*Ψ) si Ψ(r,t) est complexe a une signification physique, puisqu'il représente la densité de probabilité de présence de la particule en r à l'instant t. En d'autres termes, la probabilité dP de trouver la particule dans un élément de volume dV = dx.dy.dz, centré autour du point M(x,y,z), est donnée par la relation :
• .

 

Quelques propriétés de Ψ 

• Ψ est l'amplitude de la fonction d'onde associé à l'électron en mouvement.
• Ψ doit être stationnaire, c'est à dire reprendre périodiquement la même valeur en chaque point
• Ψ doit être normée: la probabilité de trouver l'électron dans tout l'espace autour du noyau doit être égale à 1, c'est - à - dire certaine.

• Ψ doit être continu, finie, univoque, dérivable (deux fois), s'annuler aux endroits où la particule ne peut se trouver (Ψ → 0 quand l'électron est à une distance infinie du noyau).