Considérons les projets suivants dont on connaît l’espérance de la VAN et la variance de la VAN

 

Projet	Espérance VAN	Variance VAN
A	12000	900000
B	15000	7840000
C	17000	8410000

 

E(A) < E(B) < E(C) donc A est le plus rentable

V(A) > V(B) > V(C) donc A est le plus risqué

Ainsi A est le moins rentable et le plus risqué =====> on élimine le projet A. Il ne sera jamais préféré parmi les trois projets.

 

E(C) >  E(B) ======> C est le plus rentable

V(C) > V(B) ======> C est le plus risqué

Cas pratique 2

Un investissement de 80000000 est supposé procurer les CAF d’exploitation suivantes :

 

	Probabilité	Année 1	Année 2	Année 3
Hypothèse pessimistes	0,30	20000000	25000000	30000000
Hypothèse la plus probable	0,50	30000000	40000000	50000000
Hypothèse optimiste	0,20	40000000	50000000	60000000

 

Calculer l’espérance mathématique de la VAN et la variance de la VAN avec un coût du capital de 10%.

 

Résolution

 

Avec Hy : Hypothèse

 

Année 1					Année 2
	Pi	Ri	PiRi			Pi	Ri	PiRi
Hy pessimiste	0,30	20	6		Hy pessimiste	0,30	25	7,5
Hy peu probables	0,50	30	15		Hy peu probables	0,50	40	20
Hy optimiste	0,20	40	8		Hy optimiste	0,20	50	10
Ʃ Pi Ri  =  29			29		Ʃ Pi Ri  =  37,5			37,5

 

 

Année 3
	Pi	Ri	PiRi
Hy pessimiste	0,30	30	9
Hy peu probables	0,50	50	25
Hy optimiste	0,20	60	12
Ʃ Pi Ri  =  46			46

 

E(X) = Ʃ XiPi

Pi = les probabilités

Xi = les RN

VAN = - I₀ + RN₁(1+i)^-1 + RN₂(1+i)^-2 + RN₃(1+i)^-3

VAN = RN₁(1+i)^-1 + RN₂(1+i)^-2 + RN₃(1+i)^-3

E(VAN) = (1+i)^-1   E(RN₂) + (1+i)^-2    E(RN₂) + (1+i)^-3    E(RN₃) = -I₀

E(RN₁) = (PiRNi)

 

E(VAN) = 29(1,10)^-1 + 37,5(1,10^)-2 + 4,6(1,10^)-3 – 80

                  = 11,915

E(VAN) = 11915852

 

V(RN) = Ʃ PiRi² – [E(Ri)]²

 

Supposons que les recettes nettes sont indépendantes les unes des autres avec :

-VAN = (1+i)^-1 RN₁ + (1+i)^-2 RN₂ + (1+i)^-3 RN₃) – I₀

V(VAN) = [(1+i)^-1]² V(RN₁) + (1+i)^-2]² V(RN₂) + [(1+i)^-3]² V(RN₃)

V(VAN) = (1+i)^-2 V(RN₁) + (1+i)^-4 V(RN₂) + (1+i)^-6 V(RN₃)

V(RN₁) = Ʃ PiRi² – [E(RNi)]²

 

Année 1					Année 2
	Pi	Ri	PiRi2			Pi	Ri	PiRi2
Hy pessimiste	0,30	20	120		Hy pessimiste	0,30	25	187,5
Hy peu probables	0,50	30	450		Hy peu probables	0,50	40	800
Hy optimiste	0,20	40	320		Hy optimiste	0,20	50	500
Ʃ Pi Ri2  =  890			890		Ʃ Pi Ri2  =  1487,5			1487,5

 

V(RN₁) = ƩPiRi² – [E(RN₁)]² = 890 - 22² = 49                 V(RN₂) = ƩPiRi² – [E(RN₂)]² = 1487,5 – (37,5)² = 81,25

 

Année 3
	Pi	Ri	PiRi2
Hy pessimiste	0,30	30	270
Hy peu probables	0,50	50	1250
Hy optimiste	0,20	60	720
Ʃ Pi Ri2  =  2240			2240

 

V(RN₃) = ƩPiRi² – [E(RN₃)]² = 2240 – (46)² = 124

 

V(VAN) = (1+i)^-2 V(RN1) + (1+i)^-4 V(RN²) + (1+i)^-6 V(RN₃)

V(VAN) = 49(1,10)^-2 81,25(1,10)^-4 +124(1,10)^-6

V(VAN) = 165,985

V(VAN) = 166

 

Remarque

Pour comparer le risque de deux projets, il est pertinent de calculer l’écart réduit défini par :

L’écart réduit de la VAN est parfois appelé coefficient de variation de la VAN.