Si le fluide est uniquement soumis au champ de la pesanteur, nous pouvons écrire que champ f dérive d’un potentiel.

L’équation devient : 

« Deuxième hypothèse » : le fluide est incompressible ρ=cte

L’expression devient  

En calculons cette expression on constate qu’elle ne dépend que de z ce qui permet d’arriver à la relation suivante :

P+ρgz = Constante

On appelle cette constante la pression piézométrique ou motrice  elle représente l’énergie potentielle de l’unité de volume de fluide dans le champ de gravité.

L’accélération de la pesanteur g correspond à la résultante de la force d’attraction terrestre et de la force centrifuge d’inertie due à la rotation intrinsèque de la planète. On considérant que la Terre est de densité constante (d = 5,52), l’accélération de pesanteur peut s’exprimer par la relation:

où ϕ est la latitude du lieu, z est l’altitude exprimée en mètres et  g₀ = 9,80619 m.s^-2 .

Ainsi, au niveau du “sol”, g varie de 9,78 m.s^-2 à l’équateur à 9,83 m.s^-2 aux pôles.

Le plus souvent, on prendra g = 9,81 m.s^-2 dans les applications courantes.

La relation  est valable pour un fluide incompressible et placé uniquement dans le champ de la pesanteur. Ce qui veut dire qu’en tout point d’un fluide au repos la pression piézométrique est constante. Pour chercher la constante, nous passerons par un point ou nous connaissons la pression statique.

I.1.1 Théorème de Pascal

Dans un fluide incompressible en équilibre, toute variation de pression en un point entraîne la même variation de pression en tout autre point.

Démostration

Supposons qu’au point G1 intervienne une variation de pression telle que celle-ci devienne  P₁ + ΔP₁ ; ΔP₁ étant un nombre algébrique. Calculons la variation de pression  ΔP₂ qui en résulte en G₂.

Appliquons la relation fondamentale de l’hydrostatique entre G1 et G2 pour le fluide :

• A l’état initiale P₁ – P₂ = ρg (z₂ – z₁)
• A l’état finale (P₁ +ΔP₁) – (P₂ + ΔP₂) = ρg (z₂ – z₁)

En faisant la différence des deux équations, on obtient :

ΔP₁ – ΔP₂ = 0 càd ΔP₁ = ΔP₂

II.1.2. Théorème d’Archimède.

Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force (poussée) verticale, vers le haut dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé (ce volume est donc égal au volume immergé du corps).

A= ρ_liquide.V_imm.g

Si le système de fluides se réduit à un fluide unique, de masse volumique ρ est constante, et si le solide est complètement immergé, le centre de poussée coïncide avec le centre d’inertie du corps. P = Mg = ρ_solide.V_solide.g

 Si le corps est immergé dans plusieurs fluides, comme c’est le cas d’un flotteur dont la partie inférieure est dans un liquide et la partie supérieure dans un gaz (mais aussi dans le cas d’un liquide stratifié en densité), le théorème reste applicable, mais le centre de poussée n’a pas une position invariable par rapport un repère lié au solide. La résultante des pressions exercées par le liquide et par le gaz (ou à chaque niveau pour un fluide stratifié) est appliquée au barycentre du volume (le centre de poussée).

Pour que le flotteur soit en équilibre, c’est à dire pour qu’il flotte, il faut que la poussée d’Archimède soit égale en intensité au poids du flotteur. Or le poids du flotteur vaut m_flotteur· g. On aura donc :

m _f · g = ρ_l · g ·V_imm.

En remplaçant m_f  par ρ_f ·V_f, on obtient :

ρ_f · g ·V_f =ρ_l · g ·V_imm.

Le volume immergé Vimm. est toujours plus petit que le volume total du flotteur Vflotteur. Par conséquent, pour que la précédente relation soit satisfaite et que le flotteur flotte, il faut que la masse volumique du liquide soit plus faible que celle du liquide.

ρflotteur < ρliquide

On pourra encore écrire cette condition avec les densités :

dflotteur < dliquide  

La glace, dont la densité est d’environ 0,9 flottera donc sur l’eau (densité de 1). Les icebergs en sont un exemple. Par contre, le granit de densité 1,6 environ, coulera dans l’eau. Le granit flottera toutefois sur le mercure (densité de 13,6).

Cas des fluides non miscibles – exemple du pèse acide

 Certains liquides sont dits immiscibles. Ceci signifie que même en les agitant fortement, ils ne se mélangent pas et après un certain temps, on obtient deux phases liquides qui se superposent. C’est le liquide qui a la densité la plus faible qu’on retrouvera toujours au-dessus.

Par exemple, le pétrole de densité 0,87 flotte sur l’eau de mer de densité 1,02. C’est la raison pour laquelle lors de marées noires, le pétrole déversé surnage à la surface de l’eau sous forme de nappes (ce qui permet d’ailleurs de le récupérer).

Exemple du pèse acide

Nous avons vu que le valeur du volume immergé du flotteur dépendait de la masse volumique du liquide. Il est par conséquent possible de mesurer des masses volumiques de liquide en mesurant ce volume immergé. C’est le principe du pèse-acide (utilisé pour mesurer la densité du liquide de batterie automobile par exemple) ou du pèse-alcool (utilisé pour mesurer la densité d’une solution aqueuse d’alcool éthylique comme un spiritueux par exemple).

On constate que le flotteur de volume Vf et de masse volumique ρ_f  s’enfonce dans l’eau d’un volume V_imm1 alors qu’il s’enfonce d’un volume V_imm2 dans un liquide dont on désire mesurer la masse volumique ρliq.

Dans chacun des cas on peut écrire la condition d’équilibre du flotteur à l’aide de l’équation. On obtient ainsi :

ρeau · g ·Vimm1 = ρf · g ·Vf

ρliq · g ·Vimm2 = ρf · g ·Vf

On a donc :

ρeau · g ·Vimm1 = ρliq · g ·Vimm2

D’où :

ρliq Vimm2 =ρeau ·Vimm1

La masse volumique de l’eau étant connue, il suffit alors de mesurer les deux volumes immergés pour connaître la masse volumique du liquide.

II.1.3. Hydrostatique

II.1.3.a. Poussée d’un fluide sur une surface

Connaissant la pression effective (P-Patm) en un point M d’une surface solide, nous connaissons la force élémentaire de pression dF agissant sur la surface dS entourant ce point M par : dF = (P-Patm).dS.

• Par une sommation de la surface solide S, nous obtiendrons la force F, qui représente l’action du fluide sur cette surface.
• Par une équation des moments, nous obtiendrons le point d’application de cette force appelé centre de poussée.

Si la surface S est plane une seule sommation et une seule équation des moment nous donnerons les résultats cherchés. Si la surface S est gauche, il faudra raisonner sur les composantes.

II.1.3.b. Force due à la pression

Soit un point M d’un fluide à la pression statique P et entouré d’une surface élémentaire dS de normale extérieure n. Le fluide exerce sur la surface dS d’une force élémentaire dF1 telle que : .

Du coté de l’atmosphère il s’exercera une force dF2 telle que : .

La force élémentaire de pression sur la surface dS sera donc :

II.1.3.c. Surface plane

Le réservoir dessiné contient un fluide de masse volumique ρ et nous voulons connaitre l’action du fluide sur la surface OA en module, direction sens et position.

• Module

Fixons l’origine de l’axe z en O. soit M un point courant de la surface OA entouré d’une surface dS ; utilisons la conservation de la   pression piézométrique entre K et M.

P_K+ρgz_K = P_M+ρgz

Avec P_K=Patm, z_K =0 ; P_M et zM variable (P, z)

Nous obtenons Patm = P + ρgz

Il s’exerce sur la surface dS entourant le point M une action dF perpendiculairement et de module : dF = (P – Patm) dS = -ρgzdS

Comme toutes les forces ont la même direction perpendiculairement à OA, nous pouvons faire la sommation directement :

Le fluide est isovolume ρ= cte et l’accélération g= cte

Coordonnée du barycentre G d’une surface homogène S

Z_G cote du centre de gravité de la surface OA.

• Position

Nous chercherons le point d’application de la force, ou centre de poussée en écrivant une équation de moment, qui est une équation vectorielle.

Soit Q  le point d’application de la force qui est situé en les points O et A sur l’axe u.

Sachant que nous avons z = u.sinα en plus dS = Ldu avec L largeur de la plaque supposé rectangulaire.  et S= OA.L

Les calculs conduisent à ses résultats :

Qu’on peut écrire sous la forme :

 Avec I_/OO’ moment d’inertie par rapport à l’axe OO’

Ce résultat dépend du choix de l’origine.

II.1.3.d. Surface gauche ou courbe

La surface gauche représentée retient un fluide de masse volumique ρ et nous voulons connaitre l’action de ce fluide sur cette surface.

Remarques :

“La composante horizontale de la force de pression sur une surface quelconque (S) est égale à la poussée qui s’exercerait sur la projection verticale de (S)”.

“La composante verticale de la force de pression sur une surface quelconque (S) est égale au poids de la colonne verticale de liquide limitée par la surface (S) et la surface libre".

Conséquence immédiate: “La composante verticale de la résultante des forces de pression exercées par un liquide au repos sur les parois d’un récipient est égale au poids du liquide”.

• Module

Nous allons procéder de la manière en écrivant l’égalité des pressions piézométriques aux points K et M afin d’avoir l’expression de la force élémentaire de pression dF.  

Comme toutes les forces élémentaires de pression non pas la même direction, nous ne pouvons pas faire la sommation directement, donc il faut faire une projection sur les axes et  faire la somme des projections.

• Position

Nous procéderons de la manière suivante :

-          Une équation de moment nous donne la ligne d’action Fx

-          Une équation de moment nous donne la ligne d’action Fz

Remarque : la méthode exposée est simplifiée (plus en accord avec la mécanique des fluides) on peut passer par la méthode la plus globale, le but sera d’évaluer le torseur résultant des forces de pression dF réduit au point O.

Module