Probabilités
La théorie de probabilité a été introduite par Kolmogorov.
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| Cours: | Calcul de Probabilités (Année 2015) |
| Livre: | Probabilités |
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| Date: | jeudi 1 mai 2025, 13:06 |
1.1 Espace d'évènements
Dans ce paragraphe, nous allons donner la définition d'expérience aléatoire, d'évènement et d'espace d'évènements.
1.1.1 Expérience aléatoire
Définition: On appelle expérience aléatoire, une expérience qui conduit selon le hasard à plusieurs résultats possibles.
- L'ensemble des résultats possibles noté Ω d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers.
- On appelle épreuve ou évènement élémentaire toute sortie d'une expérience aléatoire.
L'univers peut être fini ou infini dénombrable ou infini non dénombrable.
Exemple1: Lancer d'un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. L'univers Ω={1,2,3,4,5,6} est fini de cardinal CardΩ=6.
Exemple2: Lancer d'un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 jusqu'à l'obtention du numéro "5". L'univers Ω={1,2,...} est infini dénombrable.
Exemple3: Choisir un nombre au hasard dans [0,1]. L'univers Ω=[0,1] est infini non dénombrable.
1.1.2 Evènement :
On appelle évènement toute partie qui vérifie une propriété donnée de l'univers Ω. C'est donc une partie A de Ω.
Ex1: Dans l'exemple1, on considère l'évènement on obtient un nombre pair : A={2,4,6}
Ex2: Dans l'exemple2, on considère l'évènement on obtient le 1er "5" entre le premier coup et le septième coup inclus.
Ex3: Dans l'exemple3, on considère l'évènement on choisit un nombre strictement compris entre 0 et 1/2 : ]0,1/2[.
Remarque: l'ensemble des évènements noté Ζ est appelé tribu. Le couple (Ω,Z) est appelé espace d'évènements ou espace probabilisable.
1.2 Espace probabilisé
1.2.1 Probabilité :
Définition:
Soit (Ω,Z) un espace probabilisable .On appelle probabilité une application P de Ω à valeurs dans [0,1] telle que :
- P(Ω)=1
- Pour tous évènements A et B disjoints, P(AUB)=P(A)+p(B)
Le triplet (Ω,Z,P) est appelé espace probabilisé.
1.2.2 Propriétés :
Soit (Ω,Z) un espace probabilisalbe. Soient A et B deux évènements, CA le complémentaire de A dans Ω. Alors, nous avons les propriétés suivantes :
- P(CA)=1-P(A)
- Si A c B alors P(A) < P(B)
- P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
Exercice d'application : Dans l'exemple1, montrer que l'application P : (Ω,Z) →[0,1] définie par : P(A)=cardA/6 définit une probabilité sur (Ω,Z) où Z est l'ensemble des parties de Ω.
1.2.3 Probabilité sur un univers fini :
Soit (Ω,Z,P) un espace probabilisé. Si Ω est un univers fini et si tous les évènements élémentaires sont équiprobables alors la probabilité P est uniforme sur (Ω,Z). Dans ce cas, pour tout évènement A, P(A)=CardA / CardΩ.
1.3 Probabilité conditionnelle
1.3.1 Définition
Soient (Ω,Z) un espace probabilisable, A et B deux évènements tels que P(B)≠0. La probabilité conditionnelle de A sachant B notée P(A/B) est définie par : P(A/B)= P(A∩B)/p(B)
1.3.2 Propriétés
Soient (Ω,Z) un espace probabilisable, A et B deux évènements tels que P(B)≠0 et P(A)≠0. Alors on a les propriétés suivantes :
- P(CA/B)=1-P(A/B).
- P(A∩B)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B/A)
- Plus généralement si $$A_1,A_2,\cdots,A_n $$ sont des évènements tels que $$ P(A_1 \cap A_2 \cap,\cdots,A_k)>0$$, $$k=1,\cdots,n-1 $$. La formule de probabilités composées s'écrit :
$$P(A_1 \cap A_2 \cap,\cdots,A_n) =P(A_1)P(A_2 / A_1)P(A_3 /A_1 \cap A_2) \cdots P(A_n / A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) $$
1.4 Formales de probabilités totales
Définition : On appelle système complet d'évènements toute famille $$\lbrace A_1 \cap A_2 \cap,\cdots,\cap A_n \rbrace $$ d'évènements deux à deux incompatibles tels que $$P(A_i) > 0$$ et $$\sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i) .$$
Pour tout évènement B on a : $$P(B)=\sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i \cap B)=\sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i) P(B/ A_i) $$
Théorème de Bayes : Soit B un évènement tel que $$ P(B) >0$$ et $$\lbrace A_1 \cap A_2 \cap,\cdots,\cap A_n \rbrace $$ un système complet d'évènements. La formule de Bayes s'écrit : $$ P(A_k / B)=\frac{P(A_k)P(B / A_k)}{\sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i) P(B/ A_i)} $$