Cours Analyse Combinatoire

1 Introduction

2 Arrangements

Nous allons introduire la notion d'arrangements

2.1 Définition

Etant donné un ensemble E de n objets, on appelle arrangement de p objets toutes suites ordonnées de p objets pris parmi les n objets.

2.2 Arrangements sans répétition

Lorsqu'un objet ne peut être observé qu'une seule fois dans un arrangement, le nombre d'arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est alors :

An,p=n (n-1)(n-2)...(n-p+1)

2.3 Arrangements avec répétitions

Lorsqu'un objet peut être observé plusieurs fois dans un arrangement, le nombre d'arrangements avec répétitions de p objets pris parmi n est alors An,p=n^p

3 Permutations

Dans ce qui suit, nous allons introduire la notion de parmutations

3.1 Permutation sans répétition

Etant donné un ensemble E de n objets, on appelle permutation de n objets distincts, toutes suites ordonnées de n objets ou tout arrangement n à n de ces objets. Le nombre de permutations Pn de n objets distincts est : Pn= n!

3.2 Permutation avec répétition

Dans le cas où il existerait plusieurs répétitions k d'un même objet parmi les nobjets, le nombre de permutations Pn possibles des n objets doit être rapporté au nombre de permutations des k objets identiques  : Pn= n! / k!

4 Combinaisons

Nous allons à présent définir la notion de combinaison

4.1 Définition

Etant donné un ensemble E de n objets, on appelle combinaison de p objets, toute partie de p éléments pris parmi les n objets, sans ordre déterminé. Le nombre de combinaisons de n éléments pris p à p est donné par : Cn,p= n! / p!(n-p)!

4.2 Propriétés

1. Cn,p=Cn,n-p
2. Cn,p=Cn-1,p-1 + Cn-1,p
3. Cn,0=Cn,n=1

5 Formule du Binôme de Newton

 Le développement de (a+b)^n est donné par la formule du binôme de Newton :